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公約数の問題

公約数の問題（正方形に切る）

右のような，たて１５㎝、横２１㎝の長方形の中に、

同じ大きさの正方形を、すきまのないように、しきつめます。

なるべく大きな正方形をしきつめるには

正方形の一辺を何㎝にすればいいでしょうか。

■簡単だよ。正方形をしきつめるってことでしょ。それなら、１辺が１㎝の正方形をしきつめればいいのかなあ。
▼ちがうよ。問題は、もっと大きい正方形でしきつめることができるんじゃないかなあってことだよ。
▲１辺が２㎝の正方形はどう。
■１５㎝の辺に並べると，７個並んで，１㎝余っちゃうからだめだよ。
▲１辺が３㎝の正方形はどう。
■並びそうだね。でも，もっと大きいのはないの。
▲大きいのなら、１５㎝の正方形が入るよ。
■それは、はんぱができるからだめじゃないの。  
●このままではだめさ。でも、残りの長方形を正方形でしきつめることができれば、同じ正方形で、一辺が１５㎝の正方形もしきつめることができるんだ。
■わかるように説明してよ。
●　たて１５㎝・横６㎝の長方形の上に並ぶ正方形は、たて１５㎝の長さにあまりが無いようにならんでいる。
　縦１５㎝に並べば，横１５㎝にも並ぶから，一辺１５㎝の正方形に並ぶことができる。
■それなら、たて１５㎝横６㎝に並ぶ正方形が見つかれば，それが答えになるね。
▼問題が簡単になったね。数字が小さくなったよ。
▲今度は、残った長方形を，一辺が６㎝の正方形に切ったらどうだろう。

●残りはたて３㎝横６㎝の長方形だね。

▲黄色に入る正方形は，緑色の正方形もうめれるんだね。

●そうだよ。さっきと同じように考えるんだ。
　　黄色の一辺６ｃｍにならぶ正方形は，一辺が６ｃｍの緑色の正方形にも，きちんとならぶわけだ。
■たて３㎝横６㎝の長方形の中に並ぶ正方形は・・・・一辺が３㎝の正方形だ。
●本当に一辺が３㎝の正方形が、たて１５㎝横２１㎝の長方形に並ぶか図に書いてみたら，書けたよ。
●この問題は、縦２１と横１５の最大公約数を求める問題なんだ。

　最大公約数を求めるには、こうやって、だんだんわり算して、簡単にして求める用法もあるんだよ。まとめて書いてみるよ。

大きい方の数を小さい方の数で割る。 ２１÷１５＝１　あまり　６
割った数字をあまりで割る。 １５÷６＝２　あまり　３
割った数字をあまりで割る，を繰り返す。 ６÷３＝２　
　割り切れたね。このときの割った数字は３， ３が最大公約数だ。

　こういう計算の仕方を、これを発見した人の名前をつけて、ユークリッドの互助法っていうんだ。

▼この問題は，縦の長さと横の長さの最大公約数を見つければ良いんだ。

●では、練習してみよう。