公約数の問題

公約数の問題(正方形に切る)


右のような,たて15㎝、横21㎝の長方形の中に、同じ大きさの正方形を、すきまのないように、しきつめます。
なるべく大きな正方形をしきつめるには正方形の一辺を何㎝にすればいいでしょうか。


 
■簡単だよ。正方形をしきつめるってことでしょ。それなら、1辺が1㎝の正方形をしきつめればいいのかなあ。

▼ちがうよ。問題は、もっと大きい正方形でしきつめることができるんじゃないかなあってことだよ。

1辺が2㎝の正方形はどう。


15㎝の辺に並べると,7個並んで,1㎝余っちゃうからだめだよ。
2は、15の約数ではないから、2cm]だと余るんだね。

1辺が3㎝の正方形はどう。


■並びそうだね。でも,もっと大きいのはないの。

大きいのなら、15㎝の正方形が入るよ。


それは、はんぱができるからだめじゃないの。

●このままではだめさ。
 でも、残りの長方形を正方形でしきつめることができれば、
 同じ正方形で、一辺が15㎝の正方形もしきつめることができるんだ。

残りを敷き詰めると


■え、どういうこと、わかるように説明してよ。
● たて15㎝・横6㎝の長方形の上に並ぶ正方形は、たて15㎝の長さにあまりが無いようにならんでいる。
縦15㎝に並べば,横15㎝にも並ぶから,一辺15㎝の正方形に並ぶことができる。

■それなら、たて15㎝横6㎝に並ぶ正方形が見つかれば,それが答えになるね。
▼問題が簡単になったね。数字が小さくなったよ。

こうして、問題は簡単になるんだ


▲今度は、残った長方形を,一辺が6㎝の正方形に切ったらどうだろう。
■15cmの正方形を入れたみたいにするんだね。

●残りはたて3㎝横6㎝の長方形だね。
▲黄色に入る正方形は,緑色の正方形もうめれるんだね。
●そうだよ。さっきと同じように考えるんだ。
黄色の一辺6cmにならぶ正方形は,一辺が6cmの緑色の正方形にも,きちんとならぶわけだ。

■たて3㎝横6㎝の長方形の中に並ぶ正方形は・・・・一辺が3㎝の正方形だ。

元にもどって考えると


黄色に敷き詰められる正方形は
緑色にもしきつめられて
緑色に敷き詰められれば、にず色にも式つけられる。

●本当に一辺が3㎝の正方形が、たて15㎝横21㎝の長方形に並ぶか図に書いてみたら,書けたよ。
●この問題は、縦21と横15の最大公約数を求める問題なんだ。
 最大公約数を求めるには、こうやって、だんだんわり算して、簡単にして求める用法もあるんだよ。

まとめて書いてみるよ。


大きい方の数を小さい方の数で割る。・・・・・・・21÷15=1 あまり 6
割った数字をあまりで割る。・・・・・・・・・・・・・・・15÷6=2 あまり 3
割った数字をあまりで割る,を繰り返す。・・・・・・6÷3=2 
割り切れたね。このときの割った数字は3,・・・・3が最大公約数だ。

こういう計算の仕方を、これを発見した人の名前をつけて、ユークリッドの互助法っていうんだ。
▼この問題は,縦の長さと横の長さの最大公約数を見つければ良いんだ。
次は 64と72の最小公倍数、公約数 です。
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